यदि रेखा y = sqrt{3}x वक्र x^4 + ax^2y + bxy | vedclass

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Question

(C) रेखा $y = \sqrt{3}x$ पर स्थित किसी भी बिंदु को ध्रुवीय रूप में $(r \cos 	heta, r \sin 	heta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $	heta = 60^\c

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$96$

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(C) रेखा $y = \sqrt{3}x$ पर स्थित किसी भी बिंदु को ध्रुवीय रूप में $(r \cos 	heta, r \sin 	heta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $	heta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ है।अतः,निर्देशांक $\left(\frac{r}{2}, \frac{r\sqrt{3}}{2}ight)$ होंगे।इन मानों को वक्र के समीकरण $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ में रखने पर:$\left(\frac{r}{2}ight)^4 + a\left(\frac{r}{2}ight)^2\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}ight) + b\left(\frac{r}{2}ight)\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}ight) + c\left(\frac{r}{2}ight) + d\left(\frac{r\sqrt{3}}{2}ight) + 6 = 0$$\frac{r^4}{16} + \frac{a\sqrt{3}r^3}{8} + \frac{b\sqrt{3}r^2}{4} + \frac{r(c + d\sqrt{3})}{2} + 6 = 0$$16$ से गुणा करने पर:$r^4 + (2a\sqrt{3})r^3 + (4b\sqrt{3})r^2 + 8(c + d\sqrt{3})r + 96 = 0$यह $r$ में चतुर्थ घात का समीकरण है,जिसके मूल $r_1, r_2, r_3, r_4$ मूलबिंदु से दूरियाँ $OA, OB, OC, OD$ दर्शाते हैं।विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल अचर पद और मुख्य गुणांक का अनुपात होता है:$OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD = r_1 r_2 r_3 r_4 = \frac{96}{1} = 96$.

यदि रेखा $y = \sqrt{3}x$ वक्र $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ को $A$,$B$,$C$ और $D$ पर काटती है,तो $OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD$ का मान ज्ञात कीजिए,(जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।

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